线性微分方程解的结构(线性微分方程的一般构造形式)

　　今天要讨论的是一类相对容易求解的微分方程──二阶常系数齐次线性微分方程。

　　我们拿到一个二阶常系数齐次线性微分方程

　　y"+py'+qy＝0微分方程(1)

　　(其中p和q都是常数)，想要求其通解。由二阶齐次线性微分方程的解的结构，我们知道：如果能找到此微分方程两个线性无关的解y?和y?，那么y=C?y?+C?y?即是其通解(C?和C?为任意常数，下同)。

　　我们知道函数y=e??(r为常数)的各阶导数之间都只相差一个常数因子，这个特性非常适合微分方程(1)的胃口。因而我们有理由做这样一个猜测：是不是能找到一个合适的常数r使得y=e??满足微分方程(1)。在这种猜测下，我们试着把y=e??代入到微分方程(1)中，整理得

　　(r2+pr+q)e??=0

　　因为e??≠0，所以

　　r2+pr+q=0方程(2)

　　只要r满足方程(2)，y=e??便是微分方程(1)的一个解。我们把方程(2)叫做微分方程(1)的特征方程。

　　特征方程r2+pr+q=0的根可能有三种情况，这也导致微分方程(1)的通解有三种不同情形，我们分别讨论：

　　（一）若p2-4q＞0，特征方程有两个不相等实根r?和r?，那么

　　y=C?e?1?+C?e?2?

　　便是微分方程(1)的通解。

　　（二）若p2-4q=0，特征方程有两个相等实根r?=r?，那么y?=e?1?便是微分方程(1)的一个解。要想求微分方程(1)的通解还需找到一个与y?线性无关的解。这就又到了关键时刻，需要我们大胆推测另外一个解的形式y?=u(x)y?=u(x)e?1?，其中u(x)是x的函数，且u(x)≠常数。当我们把y?=u(x)e?1?代入到微分方程(1)中整理发现，只要u(x)的二阶导数等于0就能使得微分方程(1)成立。那么我们不妨选u(x)=x，于是y?=xe?1?，这样就可以得到微分方程(1)的通解：

　　y=C?e?1?+C?xe?1?=(C?+C?x)e?1?

　　(三)若p2-4q＜0，特征方程有一对共轭复根r?=a+bi，r?=a-bi(b≠0)。那么e?1?和e?2?便是微分方程(1)的两个解，但它们是复值函数形式。我们希望得到实值函数形式的解，我们利用欧拉公式e??=cos b+isin b和齐次线性微分方程解的叠加原理得到微分方程(1)的两个实值函数形式的解：

　　y?=(e?1?+e?2?)/2=e??cos bx

　　y?=(e?1?-e?2?)/2i=e??sin bx

　　于是，得到微分方程(1)的通解：

　　y=C?e??cos bx+C?e??sin bx

　　=e??(C?cos bx+C?sin bx)

　　如上，只要求得二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程的根，就能轻松得到该微分方程的通解。

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