jensen不等式证明(数学jensen公式证明成立条件)

　　凸函数有一个重要的不等式，称为詹森不等式，又叫做琴生不等式。

　　若f为[a,b]上的凸函数,则对任意xi∈[a,b],λi>0(i=1,2,…,n)，Σ(i=1->n)λi=1，则

　　当f上凸时，f(Σ(i=1->n)λixi)>=Σ(i=1->n)λif(xi);

　　当f下凸时，f(Σ(i=1->n)λixi)<=Σ(i=1->n)λif(xi).

　　即，闭区间上存在一系数小于1的正数，它们的和等于1。在闭区间[a,b]上的凸函数f(x)上取与这些小于1的正数同样多个自变量，分别用这些小于1的正数乘以各个自变量，一一对应，并求它们的和的函数值；另一方面用这些小于1的正数，分别乘以各个自变量的函数，保持与前者相同的一一对应关系，再求这些函数值的和。那么和的函数值与函数值的和有如下的关系：

　　当f上凸时，和的函数值不小于函数值的和；当f下凸时，和的函数值不大于函数值的和。特别的，当这些小于1的正数的个数为2时，就形成了凸函数的定义。

　　用自己的语言描述一下，可以加深印象。关于它的证明，老黄准备用视频介绍。这里主要是介绍它的一个应用。

　　我们一般应用得最多的是当λ1=λ2=…=λn=1/n时的特殊情形。这时就有：

　　当f上凸时，f((Σ(i=1->n)xi/n))>=Σ(i=1->n)f(xi)/n;

　　当f下凸时，f((Σ(i=1->n)xi/n))<=Σ(i=1->n)f(xi)/n.

　　老黄要用它来解决下面的问题：

　　证明不等式(abc)^((a+b+c)/3)≤a^ab^bc^c,其中a,b,c均为正数.

　　证：记f(x)=xlnx,则f’(x)=1+lnx,f”(x)=1/x>0,f(x)严格凹(即下凸).

　　由詹森不等式有：(a+b+c)ln((a+b+c)/3)/3<=(alna+blnb+clnc)/3,

　　即((a+b+c)/3)^(a+b+c)<=a^ab^bc^c.

　　又(a+b+c)/3>=(abc)^(1/3);

　　从而有：(abc)^((a+b+c)/3)≤a^ab^bc^c，得证！

　　利用詹森不等式解决不等式问题的一般步骤是：

　　1、构造适合的辅助函数。这个辅助函数必须具有凸性，这是必要条件，并不一定充分。

　　2、利用二阶导数判断辅助函数的凸性，是上凸还是下凸。

　　3、根据凸性，列詹森不等式。

　　4、转化变形，得到要证明的不等式。

　　有机会，要多运用这个不等式，才能发现与之相关的更多规律。

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